1. Definisi Matriks
Sebuah Matriks
adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan.
Bilangan-bilangan
dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks (Howard Anton, 1987: 22).
Sehingga, dengan kata lain matriks
merupakan susunan dari bilanganbilangan yang diatur dalam baris dan kolom yang
berbentuk persegi atau persegi panjang. Bilangan-bilangan tersebut dinamakan
elemen penyusun matriks dan diapit oleh tanda kurung siku atau kurung biasa. Ukuran dari matriks
dijelaskan dengan menyatakan banyaknya jumlah baris dan banyaknya jumlah kolom
atau biasa disebut dengan Ordo dan nama matriks ditulis dengan huruf kapital.
Bentuk umum dari suatu matriks adalah:
dan dapat dituliskan dengan 𝑨𝒎×𝒏
yaitu matriks 𝑨
berukuran 𝑚
× 𝑛, dengan keterangan sebagai berikut.
|
|||||||||
Contoh :
𝑫 = [4 2] 𝑬
= [3].
Contoh-contoh diatas termasuk matriks
meskipun memiliki ukuran yang berbeda. Pada contoh diatas, terdapat matriks 𝑨 yang berukuran 2 × 2. Kemudian ada juga matriks 𝑩 dengan ukuran 2 × 3, matriks 𝑪 berukuran 3 × 1,
matriks 𝑫
berukuran 1 × 2 serta matriks 𝑬
berukuran 1 × 1.
2. Jenis-jenis Matriks
Berikut merupakan beberapa jenis
matriks:
1.
Matriks Persegi atau bujur sangkar.
Matriks bujur
sangkar adalah matriks yang banyak baris dan banyak kolomnya sama (Sembiring,
2003: 19). Atau dengan kata lain matriks tersebut berordo 𝑛 × 𝑛.
2.
Matriks Nol.
Matriks nol
adalah sebuah matriks yang seluruh elemen penyusunnya merupakan bilangan nol
(Howard Anton, 1987: 32). Matriks nol dilambangkan dengan 0.
3.
Matriks Diagonal.
Matriks
diagonal adalah matriks bujur sangkar
yang semua elemen-elemen penyusun selain diagonal utamanya bernilai nol
(Sembiring, 2003: 19).
4.
Matriks Identitas.
Matriks
identitas adalah matriks diagonal yang elemen-elemen di diagonal utama bernilai
satu (Sembiring, 2003: 19). Matriks Identitas juga disebut matriks satuan dan
disimbolkan dengan 𝑰.
5.
Matriks Segitiga.
Matriks
segitiga memiliki dua jenis yaitu matriks segitiga atas dan matriks segitiga
bawah. Matriks segitiga atas merupakan matriks bujur sangkar yang elemen-elemen
dibawah diagonal utama bernilai nol (Mahmud ‘Imrona, 2013: 2). Sedangkan
matriks segitiga bawah merupakan matiks bujur sangkar yang elemen-elemen diatas
diagonal utama bernilai nol (Mahmud ‘Imrona, 2013:2).
1 3 2
𝑯 = [0 4 2]
0
0 7
5 0 0
𝑱 = [2 3 0]
1
1 2
6.
Matriks Simetris .
Matriks
simetris adalah matriks bujur sangkar yang sama dengan transpose nya yaitu 𝑨 = 𝑨𝑻 (Mahmud ‘Imrona, 2013: 3).
7.
Matriks Skalar.
Matriks skalar
adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utama bernilai
sama,tetapi selain nol (Mahmud ‘Imrona, 2013: 3).
3. Operasi Matriks
Pada dasarnya
operasi pada matriks sama dengan operasi matematika biasa.
Beberapa operasi matriks yang umum digunakan antara lain:
a. Penjumlahan Matriks
Dua buah matriks dapat dijumlahkan atau
dikurangkan apabila berukuran sama (Sembiring, 2003: 20). Sehingga penjumlahan
matriks dapat dioperasikan hanya pada matriks-matriks yang memiliki orde sama.
Setiap elemen pada baris ke- 𝑚
dan kolom ke- 𝑛 dijumlahkan
dengan matriks lain pada baris ke- 𝑚
dan kolom ke- 𝑛 pula.
b. Pengurangan Matriks
Sama halnya dengan penjumlahan matriks,
pengurangan matriks juga hanya dapat dioperasikan pada matriks-matriks yang
berorde sama. Cara pengurangan matriks juga sama dengan penjumlahan matriks
yaitu Setiap elemen pada baris ke- 𝑚
dan kolom ke- 𝑛
dikurangkan dengan matriks lain pada baris ke- 𝑚
dan kolom ke- 𝑛 pula.
c. Perkalian Matriks
Ada dua jenis perkalian pada matriks yaitu :
1)
Perkalian Matriks dengan Skalar
Bila terdapat suatu skalar 𝑘 dan matriks 𝑨𝒎×𝒏
dengan elemen 𝑎𝑖𝑗
maka
𝒌𝑨 adalah matriks
yang berukuran 𝑚 × 𝑛
dengan elemen 𝑘𝑎𝑖𝑗
(Sembiring, 2003: 21). Berdasarkan definisi di atas, perkalian 𝒌𝑨 adalah sebuah
matriks baru yang setiap elemennya merupakan perkalian antara suatu bilangan 𝑘 dengan setiap elemen di 𝑨. dan perkalian matriks
dengan skalar ini bersifat komutatif yaitu 𝒌𝑨
= 𝑨𝒌
2)
Perkalian Matriks dengan Matriks
Definisi (Howard Anton, 1987: 25):
Jika 𝑨 adalah matriks 𝑚 × 𝑟
dan 𝑩 adalah matriks 𝑟
× 𝑛, maka hasil kali 𝑨𝑩 adalah matriks 𝑚 × 𝑛
yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut: untuk mencari entri dalam baris
𝑖 dan kolom 𝑗 dari 𝑨𝑩 pilihlah baris 𝑖 dari matriks 𝐴 dan
kolom 𝑗 pada matriks 𝑩.
Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut
bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan.
Perkalian matriks dengan
matriks hanya dapat dioperasikan jika banyaknya kolom dari matriks pertama sama
dengan banyaknya baris pada matriks kedua, jika syarat tersebut tidak
terpenuhi, maka hasil kali tidak dapat didefinisikan. Perkalian matriks dengan
matriks ini tidak bersifat komutatif atau 𝑨𝑩
≠ 𝑩𝑨.
terikat secara bersama-sama.
